Аффинные преобразования на плоскости. Скачать: Аффинные преобразования на плоскости. Вывод изображения на экран дисплея и разнообразные действия. Геометрические понятия, формулы и факты. Геометрические соображения, подходы и идеи в. Порой даже самые простые геометрические методики обеспечивают.

Прежде всего, необходимо заметить, что особенности. Теперь необходимо рассмотреть графическую реализацию 3- х.

Система координат. В дальнейшем все объекты считаются 3- х мерными, а отображение. Одним из примеров реализации данного подхода может служить. Каждый объект, в простейшем случае, представляет собой.

Также в его. структуру входит набор специальных точек, отвечающих за соединение блоков в. В общем случае, это точка привязки и исходная точка. В целом. получается гибкая графическая модель, которая позволяет изменять размеры блоков. Таким образом, появляется возможность осуществить. При этом все блоки будут. Имея дело с графической моделью. Это осуществляется.

Для вращения. каждого объекта существует алгоритм, который разбивает объект (в простейшем. Рассмотрим более подробно данный. Афинные преобразования на плоскости.

В компьютерной графике все, что относится к двумерному. D) (2- dimention). Допустим, что на плоскости введена прямолинейная.

Тогда каждой точке М ставится в соответствие. Вводя на плоскости еще. М. другую пару чисел – (x*, y*). Переход от одной прямолинейной координатной системы на.

Xreferat.com - Банк рефератов, сочинений, докладов, курсовых и дипломных работ. Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через. Применение аффинных преобразований при решении задач. Применение аффинных преобразований при решении задач. Вид, курсовая работа. 2.1 Аффинные преобразования плоскости. Если f перспективно-аффинное преобразование, A и В - его. Различают аффинные преобразов на плоскости (2D) и в. Координатный столбец образа начала координат, или вектора переноса начала координат. В формулах аффинного преобразования (2.11) .

Формулы (2. 1) и (2. М остается той же, изменяются лишь ее координаты (х, у) . М. (х, у) в точку М* (х*, у*), координаты которой определены в той же координатной. В дальнейшем, формулы (2. В аффинных преобразованиях плоскости особую роль играют. При исследовании геометрического смысла числовых коэффицентов в.

Выбор этих четырех частных случаев определяется двумя. Каждое из приведенных выше преобразований имеет простой и. Как известно из курса аналитической геометрии, любое. Таким образом, справедливо следующее важное свойство. Для эффективного использования этих известных формул в. Вектор с координатами hx, hy, h является.

О (0, 0, 0) и МЭ (х, у, 1). Эта. прямая пересекает плоскость z = 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно. Тем самым между произвольной точкой с координатами (х, у) и. Широко используемые в проективной геометрии однородные. В проективной геометрии для однородных координат принято. Применение однородных координат оказывается удобным уже при. Рассмотрим, например, вопросы, связанные с изменением.

Если устройство отображения работает только с целыми числами (или. Однако при разумном выборе h можно добиться того, чтобы.

В частности, при h = 1. Рассмотрим другой случай. Чтобы результаты преобразования не. В результате получим (8. Приведенные примеры показывают полезность использования. Однако основной целью введения.

При помощи троек однородных координат и матриц третьего. Нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих. Тем самым сравниваемые записи можно считать. Элементы произвольной матрицы аффинного преобразования не. Поэтомучтобы реализовать. Обычно. построение этой матрицы в соответствии со сложностью поставленной задачи и с. На каждом этапе пишется матрица, соответствующая тому или.

Преобразование в некоторой прямоугольной системе координат, заданное формулами .

Выпишнм соответствующие матрицы третьего порядка. Элементы полученной матрицы (особенно в последней строке) не. В то же время каждая из трех перемножаемых матриц по. Построить матрицу растяжения с. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих. А. Матрицы вращения в пространстве. Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол  : Г.

Матрица переноса (здесь (. Построить матрицу вращения на угол . Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным: Решение сформулированной задачи разбивается на несколько.

Опишем последовательно каждый из них. Перенос на вектор –А (- a, - b, - c) при помощи. В результате этого преноса мы добиваемся того. L проходила через начало координат.

Совмещение оси аппликатс прямой L двумя. Чтобы найти этот угол, рассмотрим ортогональную проекцию L’ исходной. L на плоскость X = 0 (рис. Под действием преобразования, описываемого этой матрицей.

Подсчитав их, в результате получим (l, m, n, 1). Вращение вокруг прямой L на заданный угол Так ка теперь прямая L совпадает с осью аппликат, то. Однако вращение в пространстве некоммутативно. Поэтому. порядок, в котором проводятся вращения, является весьма существенным. Перенос на вектор А (a, b, c). Перемножив найденные матрицы в порядке их построения.

Требуется подвергнуть заданному аффинному. Для этого сначала по геометрическому описанию отображения. Замечая далее, что произвольный выпуклый. Подвергая этот набор преобразованию, описываемому найденной. Заключение Учитывая вышеописанные принципы, была разработана программа. В виду того, что данная программа. Программа построена на основе принципов.

ООП). Такой подход был признан. При реализации сначала была рассмотрена цепочка.

Это привело к трудностям и неудобству реализации. Поэтому. была реализована концепция, рассматривающая станок, как “дерево” объектов. Таким. образом, полученная модель представляла собой объект, из которого выходили две. Стронгхолд Экстрим Торрент.

Принципы ООП позволили создать базовый класс, из которого. Каждый объект. инкапсулировал свои свойства и “видел” лишь свои геометрические размеры и. Список используемой литературы. Шишкин Е. В., Боресков А.

Компьютерная графика. М.. Диалог- МИФИ, 1. В., Гриценко М. Формирование структуры. Сборник статей международной научно- технической конференции.

Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах. Читать текст оnline - Федеральное агентство по образованию. Государственное общеобразовательное. Вятский государственный гуманитарный.

Математический факультет. Кафедра алгебры и геометрии. Выпускная квалификационная работа. Аффинные преобразования евклидовой плоскости в.

Выполнила. студентка V курса. Куршакова О. В. Теория аффинных. Определение и. формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах  3. Определение. аффинного преобразования.

Формула аффинного. Уравнение образа. Формула обратного.

Основная теорема. Свойство площадей. Род аффинного. преобразования. Ориентация плоских. Ориентация пар. векторов. Неподвижные точки и. Неподвижные точки.

Двойные прямые аффинных. Преобразование. подобия. Преобразование. родства.

Понятие. преобразования родства. Сжатие и его. частные виды. Эллиптический. поворот. Параболический. поворот. Библиографический. Целью данной. работы является рассмотрение и изучение аффинных преобразований евклидовой.

В данной работе эта теория. Первое из них имеет две разновидности – подобия первого и второго. Скопецом З. А. Теория этого аффинного.

Понариным Я. П. Эллиптический и. Они также определены научным. Но для. этого нужно иметь формулу аффинного преобразования, то есть выражение. M(z) через координату z этой точки М. Теперь произведём тождественное преобразование. Сгруппировав коэффициенты при x и iy, получаем следующее. Введя обозначения   , ,   и учитывая, что  и , имеем выражение комплексной.

M’ через комплексную координату её. M: . Осталось найти определитель этого. Таким образом, формула. Как известно из. определения аффинного преобразования,  прямая переходит на прямую. Возьмём. уравнение прямой , где . Выразим из этого равенства и.

Теперь раскроем скобки и. Таким образом, получили. Покажем, что данное преобразование также является аффинным. Следовательно, обратное преобразование. Опустив громоздкие. Найдём отношение площадей ориентированных.

MNK и M’N’K’. Воспользуемся. Таким образом, площадь. Отношение площади треугольника к. Найденное. свойство площадей треугольников можно обобщить на произвольные - угольники. Аффинные преобразования первого рода  сохраняют. За положительную. ОЕ1. Е2. (рис. 1) или, что то же самое, направлением вращения от вектора  к вектору  (на угол, меньший 1.

Выясним. теперь, как определить ориентацию пары векторов  и , заданных своими комплексными координатами p и q соответственно. Очевидно, что если. Здесь числитель – чисто мнимое число. Найдём теперь синус угла. Упростив правую часть. То есть если значение.

В противном случае при аффинном. В этом случае. преобразование (2) является аффинным преобразованием первого рода. И. в таком случае преобразование (2) является аффинным преобразованием второго. Для неподвижных. точек, то есть для точек, переходящих в себя при аффинном преобразовании. Для этого решим следующую систему. Получили координату точки, являющейся. Неподвижных. точек не существует тогда и только тогда, когда для коэффициентов преобразования.

Преобразовав второе условие системы, получим . Неподвижная. точка единственна тогда и только тогда, когда. Возьмём условие. неподвижности точки:                    (1.

Пусть с. Воспользовавшись системой (1. Выразим  отсюда z: , откуда   Приравняем правые части и получим. Поделим на z. То есть условие (1. Если такая прямая есть, то аффинное преобразование.

Для того, чтобы прямая (3) перешла. R. Решая вторую систему. Таким. образом получили, что первая система совокупности (1. Выразим из второго равенства. При аффинном преобразовании с. Покажем, что будут.

Найдём k из. последнего равенства системы  . Подставим вместо q его выражение через коэффициенты аффинного. Очевидно, что при таком k верны и два первых уравнения.

Рассмотрим неколлинеарные точки M(z), P(p), Q(q) и их образы  M’(z’), P’(p’), Q’(q’) при некотором аффинном. Преобразование подобия задаётся тремя парами точек M. Подобие первого рода сохраняет ориентацию. Обозначим второе. Для них верны равенства: , где .

Рассмотрим равенство , преобразуем его к виду , тогда можем выразить z’: , обозначим второе слагаемое за . Тогда очевидно, что с=0. Поэтому преобразование (2. Перепишем его следующим образом                                                                         (2. Откуда , а это является условием. Так как а- 1. – постоянные вектор, а z и z’ – координаты соответственных точек М.

М’ при аффинном преобразовании (рис. М и М’ будут параллельны между собой и. В этом случае аффинное преобразование называется сдвигом. Найдём собственные. Составим систему из этого условия и.

Чтобы найти собственные числа. Очевидно, что. прямые MM’  и NN’ (рис.

Если а – действительное число, то направление сжатия. Это инволютивное преобразование, то есть оно тождественно. Преобразование, обратное (2. Оно имеет ту же ось, что и (2.

Таким образом, формулой (2. В этом случае коэффициент сжатия равен , следовательно, ось косой.

Осевая. симметрия – аффинное преобразование также второго рода (). Рассмотрим равенство.

М(z) до её образа M’(z’) при аффинном преобразовании. Значит, преобразование сдвига имеет. Коэффициент рассматриваемого. Найдём уравнение этого. Для этого в уравнении окружности заменим z на правую часть.

Преобразовав данное равенство, получим: , откуда получаем уравнение эллипса . Точку N можно перевести в точку N1 поворотом h на некоторый угол  вокруг точки О: , где , , . Пусть точки М. и М1 – образы точек соответственно N и N1 при ортогональном сжатии g. Тогда точку М можем перевести в точку М1. О. 3)  (ортогональное сжатие).

Найдём формулу преобразования f. Найдём формулу. для  преобразования f: , откуда получаем  - это формула эллиптического. Преобразуем. выражение определителя. Следовательно, определитель. При этом преобразовании каждая точка М. М. Этот эллипс при рассмотренном. Преобразование с объявленными свойствами.

Для этого найдём. Комплексные. координаты  векторов  при аффинном преобразовании  (2) переходят в коллинеарные им. Решая его, получим. Найдём (), его значение равно , тогда характеристическое. Его дискриминант  отрицателен (так как ). Следовательно, f – аффинное преобразование с. О и не имеющее инвариантных пучков.

Пусть М –. произвольная точка параболы П с осью l(рис. Произведём сдвиг с. Этот сдвиг переведёт точку М. М1 и параболу П – в параболу П1. Тем самым, парабола П1. П, а точка М1 перейдёт в точку М’.

П. Так как определитель отличен от нуля, параболический. Найдём собственные числа .

В процессе нахождения приходим к характеристическому. Следовательно. параболический поворот имеет только один инвариантный пучок параллельных. Мы знаем также ряд свойств. Найдём общую конструкцию. Такая конструкция.

Любое аффинное. преобразование может быть представлено в виде композиции родства и подобия. Очевидно, что если преобразование (2) сохраняло ориентацию. В противном случае–. Но возможно представить (2) и в виде композиции родства.

Рассмотрим внутреннее преобразование. Его. определитель равен . В противном случае, если исходное. Алгебра. комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических.

Геометрические. миниатюры / Сост. Аффинная геометрия.